Trigonometri

PENGERTIAN  Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro =

mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut

segi tiga dan fungsiTrigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen.

Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi

yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi

(dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik,

optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi,

pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi,

meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik,

arsitektur dan bahkan farmasi.

   Ukuran Sudut

Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal.

Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif.

Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah.

Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

Perbandingan trigonometri

Catatan:

• Sin = sinus
• Cos = cosinus
• Tan/Tg = tangens
• Sec = secans
• Cosec/Csc = cosecans
• Cot/Ctg = cotangens

Dari gambar tersebut dapat diperoleh:
 
(sec merupakan kebalikan dari cos,
csc merupakan kebalikan dari sin, dan
cot merupakan kebalikan dari tan)
Contoh:
Dari segitiga berikut ini:

Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A!
Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa

* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6

Identitas Trigonometri

Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas Kebalikan	Identitas Perbandingan	Identitas Phytagoras
Cosec A = 1/ sin A Sec A = 1/cos A Cot A = 1/ tan A	Tan A = Sin A/ Cos A Cot A = Cos A / Sin A	Cos2 A + Sin2 A = 1 1 + tan2 A = Sec2 A 1 + Cot2 A = Cosec2 A

Kuadran

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar:



 Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a
(k = bilangan bulat > 0)
Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip

• Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah:

sin ↔ cos

tan ↔ cot

sec ↔ csc

• Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap

Sudut dengan nilai negatif
Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV
Contoh:

• Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif)
• Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2
• Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)
• Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2

Identitas Trigonometri

Sehingga, secara umum, berlaku:

sin²a + cos²a = 1

1 + tan²a = sec²a

1 + cot²a = csc²a

Grafik fungsi trigonometri

y = sin x

y = cos x

y = tan x

y = cot x

y = sec x

y = csc x
 

Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c

1.     Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k

    Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k

2.     Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A|

3.     Amplitudo = ½ (y_max – y_min)

4.     Cara menggambar:

1.     Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas

2.     Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya

3.     Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A

4.     Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k

       Untuk kx – b → grafik digeser ke kanan sejauh b/k

5.     Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c

       Untuk – c → grafik digeser ke bawah sejauh c

Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

 
Aturan Sinus
Dari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:
 
Aturan Cosinus
Dari segitiga ABC di atas:

 Sehingga, secara umum:

Luas Segitiga
Dari segitiga ABC di atas diperoleh:


 Sehingga, secara umum:

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Dari gambar segitiga ABC berikut:

AD = b.sin α
BD = a.sin β
CD = a.cos β = b.cos α

Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°


Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

 Rumus Sudut Rangkap

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:
Penurunan dari rumus cos2α:

Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus

Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:

Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus

Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

Contoh soal :

1.       = …

a.    Cos a cos b                                        d.  -Sin a sin b                

b.   Sin a sin b                                          e.  Cos (a-b)

c.    –Cos a cos b

Pembahasan :

  =

                  =

              =

                   = cos a cos b

2.      Sin 2 ɵ sama dengan…

a.                               d. 

b.     

p

                        e.                         

c.        

q

Pembahasan :

Menurut dalil Pythagoras, panjang kaki

segitiga disamping adalah

Sin ɵ =  dan Cos ɵ =

Sin 2 ɵ = 2 Sin ɵ Cos ɵ

             = 2  .

             =

3.      Sin 3p + sin p =…

a.      4 sin p cos²p                                      d.  2 sin p cos²p  

b.      4 sin² p cos²p                                     e. 2 sin² p cos²p

c.      4 sin² p cosp

Pembahasan :

                        = 2 sin 2p cos p

                        = 2 (2sin p cos p)cos p

                        = 4 sin p cos² p

4.      Nilai adalah..

a.                                                       d. 

b.      1                                                  e. 

c.     

Pembahasan :

 =

                          =

                     =

                     =

                     = -1

5.      Jika sin α = dan tan  =,   dan β adalah sudut lancip, maka nilai sin () adalah…

a.                                                             d.  1

b.                                                             e.

c.       

Pembahasan :

sin () = sin  . cos   +cos  . sin 

                        =        .  +

                          = 1

6.       Jika tan 5° = x, tentukan nilai tan 50°…

a.       

b.       

c.       

d.       

e.       

Pembahasan :

tan 50° = tan (45° + 5°) =

           =

7.      Jika tg² x +1 = a²  maka sin²x=…

a.                                           d. 

b.                                                  e. 

c.     

Pembahasan :

Tg² x +1 = a²

Tg² x = a² – 1

1

Tg x =

Maka Sin² x =

8.      Jika tan x + tan y = p dengan p ≠ 0, maka  =…

a.                                              d.  2p     

b.                                                       e.   p²      

c.      p

Pembahasan :

tan x + tan y = p

                

9.      Jika 1 +tan²x = a, a>1 dan ) ≤ x ≤ , maka sin² x…

a.      a                                                     d.   

b.      a-1                                                  e.

c.     

Pembahasan :

1

tan x = 

sin² x =

10.  Sin 75 + Sin 15 =…

a.      -1                                                    d.

b.      0                                                     e.  1

c.     

Pembahasan :

Sin 75 + Sin 15   =

                             = 2 sin 45 cos 30

                             = 2

                           =